物理科普
 

彩虹为什么是弯的?

时间:2016-04-16  来源:  作者:

古代人对彩虹的观察和研究

对彩虹的研究最早可以追溯至公元前 4 世纪。亚里士多德是第一个认真研究彩虹的人,他曾指出彩虹最为重 要的几个特征,比如:

  • 如果太阳在地平线上升起得不太高,彩虹就会出现。彩虹不会出现在夏日的中午
  • 我们可以同时看到两条形状相同但颜色顺序排列相反的彩虹,其中外侧那条显得略为松散
  • 彩虹主要由三种(或四种)颜色组成(现代的RGB三原色理论亦基于此)

但是有一个很重要的现象亚里士多德并没有注意到,那就是两条虹中间的区域亮度较暗,直到公元约 200 年雅典哲学家亚历山大(Alexander of Aphrodisia)才观察到这个现象,所以后人就将这条暗带命名为“亚历山大暗带”(dark band of Alexander)。另外,亚里士多德对彩虹的解释并不正确,他认为只有大的镜子可以反射出物体的全部外形,他把天空中的水滴比做小镜子,认为这个镜子太小了,不可能反射出整个太阳,但是又必须得有什么东西反射出来,所以会有颜色呈现出来。而且,亚里士多德也没有注意到光的折射作用。

在此之后,古罗马哲学家 塞内卡 、波斯物理学家 海什木 等人也都曾发表过自己的看法。中国北宋时期一位叫 孙思恭 的精通天文历算的进士也曾说过“虹乃雨中日影也,日照雨则有之”(沈括《梦溪笔谈》),这些均只停留在对现象的思考上,没有更多深入和本质性的研究。

彩虹是怎么形成的

我们现在知道,彩虹的形成和光的折射有关。所以直到人们发现折射定律,彩虹问题才有条件被解决。光入射到不同介质的界面上会发生反射和折射,入射光和折射光位于同一个平面上,且与法线的夹角满足如下关系:

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其中, n 1 和 n 2 分别是两个介质的折射率, θ 1 和 θ 2 分别是入射光(或折射光)与法线的夹角,叫做入射角和折射角。这个定律最早在公元 984 年被波斯科学家 IbnSahl 精确描述。随后又被英国科学家 托马斯·哈利奥特 ( 1602 年)、荷兰物理学家 威理博•斯涅尔 ( 1621 年)、法国数学家笛卡尔( 1637 年)等人先后独立发现这个定律。

其中,笛卡尔利用折射定律,成功解释了彩虹是如何形成的。笛卡尔假想在一个 AFZ 平面内,光线从 AF 处射出,人眼位于 E 处。如果这时把一个代表水滴的圆球放在 BCD 处,那么 D 部分将呈现全红色且比其它部分都更明亮。而无论是把球向前向后还是向左向右移动,这个现象均不会改变。笛卡尔测出此时的 ∠DEM 约为 42° ( M 为彩虹的圆心)。之后他将 ∠DEM 调得稍大一些,观察到红光立刻就消失了,稍小一些,则能看到黄色、蓝色等其它颜色。在仔细检查 BCD 处的球后,笛卡尔得出结论:光线 AB 在 B 点处射入球体发生折射打到 C 点,随后在 C 点处发生反射传递到 D 点,并在 D 点再次发生折射而出。

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【笛卡尔描绘彩虹是如何形成的。图片来源:wikipedia.com】

上面这段话并不太好理解,转化成现代语言就是:以空中的一个水珠为例,如下图所示,光线在水滴内发生两次折射和一次反射。其中α为入射角,β为折射角。容易看到,角 D(α) 就是最后的光线偏离原始方向的角度。

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【图像来源:plus.maths.org】

那如果一簇平行光线射入水珠又是什么情况呢?如下图所示,可以发现经水珠两次折射后,一部分光线散射出去,还有一部分光线则非常密集地射向(大致的)同一方向。实际上 可以证明 ,下图中越靠近红线处的光线越密集,光强越大。这条红线就被称作为彩虹线。

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【图像来源:plus.maths.org】

要确定这条彩虹线的位置也并不困难。仍然以红光为例,前面已经说过,角 D(α) 是最后的光线偏离原始方向的角度。通过简单的几何知识我们容易得到:

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而根据折射定律,有

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其中, n f,w 是红光在水中的折射率(1.33),将上式代入到 D f (α) 的表达式中,绘制 D f(α) 的函数图象如下图蓝线所示。从函数图中我们可以看到,当入射角 α 范围相等时( I 1 = I 2),最后的光线偏移量范围 J 1 比 J 2 间隔更小,也就是说入射角在 I 1 范围内的入射光线(入射光线是平行的,但由于水珠是球形,所以几乎每条光线的入射角都不相等,而是在一个范围内),光线偏移量的范围更小。即两次折射后的光线更加密集,光强更大。

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【图像来源:plus.maths.org】

因此, D f (α) 的最小值就对应着彩虹线的位置。通过求导计算,当 α = 59.58° 时有最小值 Df(α) = 137.48° 。因此,最终的折射光线和入射光线的夹角是 180°- 137.48°= 42.52°。这正是笛卡尔寻找的 ∠DEM,也就是人眼对于彩虹的仰角,称为红光的“彩虹角”(Rainbow angle)。我们所看到的彩虹中红色部分均来在这一角度附近。

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【图像来源:plus.maths.org】

当以人的眼睛为顶点,把所有与平行入射光线成 42.52° 彩虹角的光束连接起来,就形成一个红色的圆锥体。 圆锥底面的圆弧就是彩虹。到这里,我们就成功解决了彩虹为什么是弯的这个让无数人困惑的难题。

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【所有满足红光彩虹角形成的红色圆锥体.图像来源:plus.maths.org】

另一方面,对红光的分析还可以拓展到其它颜色的光线。这样就可构建出彩虹的完整的彩色外形。比如对紫光分析,由于其频率比红光高,折射率要高于红光,所以能计算出其彩虹角为41.07°(取紫光在水中折射率为1.34)。这个值小于红光,这正是为什么在彩虹中,紫色排在红色下方的原因。

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